Die wisselende rol van kontinuïteit en diskontinuïteit in die geskiedenis van die filosofie en die wiskunde

Abstract

Hierdie artikel wil lig werp op die onvermydelikheid van diskreetheid en kontinuïteit as primitiewe (ondefinieerbare) verklaringswyses in die geskiedenis van die filosofie en die wiskunde. Dit beliggaam die algemene uitdaging om rekenskap van die samehang van iets wat uniek is te gee. Gödel beklemtoon die samehang van ‘primitiewe begrippe’. Die Griekse filosofie het reeds die ruimtelike geheel-dele-relasie – en die oneindige verdeelbaarheid daarvan – ontdek. Gedurende en na die Middeleeue het filosowe wipplank gery tussen ’n atomistiese waardering van die kontinuum en die teenoorgestelde daarvan, wat byvoorbeeld in die denke van Leibniz aangetref word as die gepostuleerde wet van kontinuïteit (lex continui). Die ontdekking van ‘inkommensurabiliteit’ (irrasionale getalle) deur die Grieke het aanleiding gegee tot die eerste grondslagkrisis van die wiskunde en die geometrisering daarvan. Leibniz en Newton kon die probleme rondom die limietbegrip nie besleg nie en spoedig sou dit tot die derde grondslagkrisis van die wiskunde aanleiding gee. Dit het Frege en die ‘kontinuum-teoretici’ daartoe gebring om prioriteit aan die kontinuum te gee – diskreetheid is ’n katastrofe. Onlangs waardeer Smooth Infinitesimal Analysis kontinuïteit as iets wat ’n ‘ongebroke en ononderbroke geheel’ daarstel. Die intuïsionistiese wiskunde het opnuut aangesluit by die klem op die ruimtelike geheel-dele-relasie. Ondanks pogings om kontinuïteit eksklusief aritmeties en ruimtelik te verstaan bevestig die geskiedenis van die filosofie en die wiskunde onmiskenbaar dat die medekondisionerende rol van hierdie twee wyses van verklaring ’n konstante metgesel in die nadenke oor kontinuïteit en diskontinuïteit sou bly. (Die rol van kontinuïteit en diskontinuïteit in die fisika en biologie sal in ’n aparte artikel ondersoek word.)