Verskeie skrywers verwys na die belangrike rol van kreatiwiteit in wiskunde (Chamberlin & Moon 2005; Ervynck 1991; Piirto 1998; Sternberg 1999; Sriraman 2005). ’n Stewige kombinasie van kreatiewe, praktiese en analitiese vaardighede word vereis vir die suksesvolle toepassing van wiskunde in ’n verskeidenheid kontekste in die realiteit. Die blote weergee van verworwe wiskundige kennis is nie genoeg om probleme in lewenswerklike situasies op te los nie – hierdie kennis moet op kreatiewe wyse aangewend moet word.

Die implikasie vir gelykberegtiging in wiskundeonderwys is dus dat alle leerders toegang behoort te hê tot wiskunde onderrig wat hul kreatiwiteit bevorder en gevolglik ’n beduidende invloed op hul toekomstige sukses kan hê. Die ontwikkeling van wiskundige kreatiwiteit behoort nie ’n luukse te wees wat net vir ’n uitgesoekte groepie leerders en studente in Suid-Afrika beskore is nie, maar deel te vorm van maatskaplik verantwoordbare onderrig en daarom op alle vlakke van onderwys plaasvind.

Verskillende wiskundekurrikula wêreldwyd beklemtoon die belangrikheid van kreatiwiteit. Die doelstelling van wiskunde in die kurrikulum van Nieu-Suid-Wallis in Australië word soos volg gestel:

The aim of Mathematics in K–10 is to develop students’ mathematical thinking, understanding, competence and confidence in the application of mathematics, their creativity, enjoyment and appreciation of the subject, and their engagement in lifelong learning. [Die doelwit van wiskunde in K-10 is om leerders se wiskundige denke, begrip, bevoegdheid en selfvertroue in die toepassing van wiskunde, hul kreatiwiteit, genot en waardering van die vak, en hul betrokkenheid by lewenslange leer te ontwikkel.] (New South Wales Government, bl. 7 [outeur se eie vertaling])

Die rol van kreatiwiteit in die probleemoplossingsproses word ook in hierdie kurrikulum genoem:

Problem solving can promote communication, critical reflection, creativity, analysis, organisation, experimentation, synthesis, generalisation, validation, perseverance, and systematic recording of information. [Probleemoplossing kan kommunikasie, kritiese refleksie, kreatiwiteit, analise, organisering, eksperimentering, sintese, veralgemening, validering/stawing, deursettingsvermoë, en die sistematiese optekening van inligting bevorder.] (bl.12, [outeur se eie vertaling])

In die Verenigde State verwys die Common Core State Standards (CCSSI 2010) na die belangrikheid van kreatiwiteit in die analise van lewenswerklike situasies met die oog op die modelle waarmee hierdie situasies beskryf word:

Real-world situations are not organized and labeled for analysis; formulating tractable models, representing such models, and analyzing them is appropriately a creative process. Like every such process, this depends on acquired expertise as well as creativity. [Lewenswerklike situasies is nie georganiseer en geëtiketteer vir analise nie; die formulering van hanteerbare modelle, die voorstelling van sulke modelle, en die analise daarvan is heel gepas ’n kreatiewe proses. Dit berus, soos elkeen van hierdie prosesse, op verworwe bedrewenheid, asook kreatiwiteit. ] (bl. 72, [outeur se eie vertaling])

Onder ‘Algemene doelwitte’ in die aanhef van die kurrikulum (National Curriculum Statement Grades R–12) van die Departement Basiese Onderwys in Suid-Afrika word daar in die beskrywing van gewenste vaardighede in leerders verwys na die rol van kreatiewe denke in die identifisering en oplossing van probleme, asook in besluitneming (DBO 2011:5).

Die Nasionale Kurrikulumverklaring Grade R–12 ‘... stel in die vooruitsig dat leerders die volgende kan doen: identifiseer en los probleme op en neem besluite deur kritiese en kreatiewe denke’. Een van die spesifieke doelwitte in die kurrikulum vir die onderrig en leer van wiskunde in graad 1 tot graad 3 is dat leerders ’n waardering moet ontwikkel vir die feit dat wiskunde ’n kreatiewe deel van menslike aktiwiteit is (DBO 2011:8). Hoewel die wiskunde-kurrikulumdokument vir graad 1 tot graad 3 baie besonderhede gee oor die inhoud en die wyse waarop van onderwysers verwag word om die inhoud te lewer, kom die woorde ‘kreatiwiteit’ en ‘kreatiewe denke’ nêrens verder in die dokument voor nie en word geen spesifieke riglyne gegee vir die ontwikkeling van kreatiewe denke in wiskunde nie.

Verskeie navorsingstudies waaroor in die literatuur gerapporteer word, toon die haalbaarheid en sukses van ’n modelleringsbenadering in wiskunde waarin ryk, komplekse, oop take gebruik word om betekenisvolle wiskundige kennis op te bou en om leerders voor te berei vir die alledaagse lewe, tersiêre studies en hul toekomstige beroepe (Biccard 2010; Niss, Blum & Galbraith 2007; Mousoulides, Sriraman & Christou 2007; Sriraman 2005). ’n Verkenning van die literatuur wys ook dat sulke modelontlokkende aktiwiteite as instrumente gebruik kan word om kreatiwiteit te ontwikkel en om begaafdheid te identifiseer (Chamberlin & Moon 2005; Fox 2006; Freiman 2006; Lesh 2001).

Verskillende standpunte oor en definisies van kreatiwiteit is volop in die literatuur en kan verskil van kultuur tot kultuur (Seo, Lee & Kim 2005; Sriraman 2005; Sriraman 2004). Baie van hierdie definisies verwys spesifiek na die kompleksiteit van die konstruk (Chamberlin & Moon 2005; Fetterly 2010; Sriraman 2004). Sommige outeurs huldig die standpunt dat kreatiwiteit uit domeinspesifieke prosesse bestaan waardeur nuwe voorstellings van ’n konsep voortgebring word, terwyl ander sterk daarvan verskil en die mening huldig dat die interaksies tussen ’n individu, ’n domein en ’n veld kreatiwiteit tot stand bring (Chamberlin & Moon 2005).

Kreatiwiteit word ook getipeer na aanleiding van spesifieke eienskappe. Torrance (1974) beskryf kreatiwiteit aan die hand van die drie komponente, naamlik vloeiendheid, soepelheid en oorspronklikheid. Vloeiendheid verwys in hierdie konteks van wiskundige probleemstelling en -oplossing na die generering of skepping van veelvuldige oplossings; soepelheid verwys na veranderinge in klem, rigting of benadering tydens probleemoplossing; en nuutheid verwys na die vlak van oorspronklikheid in die ontwikkeling van nuwe, unieke oplossings. Dié komponente word steeds deur navosers gebruik om kreatiwiteit te identifiseer (Gil, Ben-Zvi & Apel 2008; Leikin & Lev 2007; Silver 1997). Die vier eienskappe van kreatiewe prosesse wat in die Robinsonverslag (Robinson 1999) beklemtoon word, sluit aan by Torrance se komponente: verbeeldingrykheid in denke en gedrag; doelgerigtheid in verbeeldingryke aktiwiteite; die kreatiewe prosesse behoort oorspronklike produkte voort te bring; en laastens moet die uitkoms van ’n kreatiewe proses waardevol wees met betrekking tot die doelwit. Kreatiwiteit word dus deur Robinson gedefinieer as ’n verbeeldingryke aktiwiteit wat op so ’n manier ingeklee word dat die uitkomste daarvan oorspronklik en waardevol is (bl. 30). Die definisie van kreatiwiteit deur Sternberg en Lubart (2000) fokus op een van hierdie komponente, naamlik die vermoë om onverwagte oorspronklike werk voort te bring wat toepaslik en aanpasbaar in die lewenswerklikheid en daarom bruikbaar is.

Die feit dat kreatiwiteit verband hou met die oplos van wiskundeprobleme, en spesifiek met komplekse lewenswerklike probleme, loop soos ’n goue draad deur die literatuur oor definisies van kreatiwiteit. Die belangrike rol van kreatiwiteit in wiskunde word deur verskeie outeurs bespreek (Chamberlin & Moon 2005; Sriraman 2004, 2005; Leikin & Lev 2007) en baie van hierdie definisies verwys spesifiek na die kompleksiteit van die konstruk (Seo, Lee & Kim 2005; Sriraman 2004). Kreatiewe studente gee nie net die wiskundige kennis wat hulle geleer het direk weer wanneer hulle probleme oplos nie, maar gebruik nuwe en ongewone strategieë in hul oplossings (Sternberg 1999). Sternberg is van mening dat wiskundig analitiese redeneringsvermoëns alleen nie noodwendig genoeg is vir die oplossing van lewenswerklike probleme nie – ’n stewige kombinasie van analitiese, praktiese en kreatiewe denke is nodig. Chamberlin en Moon (2005) voer aan dat studente wat ’n buitengewone vermoë toon om deur wiskundige modellering met nuwe en bruikbare oplossings vorendag te kom vir ingewikkelde gesimuleerde en lewenswerklike probleme, kreatiewe wiskundige talent het.

Sriraman (2005) brei die algemene definisie van kreatiwiteit na wiskundige kreatiwiteit uit. Sy definisie van kreatiwiteit is gebaseer op insigte van Einstein, Inheld en Kuhn, en dit bevat elemente van beide Oosterse en Westerse beskouings van die konstruk. Sriraman beskryf wiskundige kreatiwiteit as ’n proses wat uitloop op nuwe, ongewone en insigryke uitkomste wat deur die oplos van probleme gegenereer word – ’n standpunt wat dikwels deur Westerlinge ondersteun word, terwyl die Oosterse siening van kreatiwiteit die herinterpretasie van ’n bekende probleem vanuit ’n nuwe hoek behels (Seo, Lee & Kim 2005). Die definisie wat deur Chamberlain en Moon (2005) voorgehou word, verwys na die domeinspesifieke denkprosesse wat deur wiskundiges gebruik word wanneer hulle nieroetine wiskundige probleme oplos.

Outeurs soos Haylock (1997), asook Wu en Chiou (2008), beklemtoon die onderskeid tussen proses en produk in hul definisies van kreatiwiteit. Wiskundige kreatiwiteit word beskou as ’n denkproses wat manifesteer in drie ‘produkte’, ofte wel eienskappe: vlotheid [fluency], soepelheid [flexibility] en oorspronklikheid [originality]. Vlotheid kan gedefinieer word as die aantal verskillende korrekte antwoorde, metodes of nuwe vrae wat geformuleer is; soepelheid as die aantal verskillende kategorieë van antwoorde, metodes of vrae; en oorspronklikheid of nuutheid as oplossings, metodes of vrae wat uniek is en insig toon (Sheffield 2000). Plucker en Beghetto (2004:156) formuleer hul definisie van kreatiwiteit as ‘… the interplay between ability and process by which an individual or group produces an outcome or product that is both novel and useful as defined within some social context’ (eie beklemtoning) […‘die wisselwerking tussen vermoë en proses waardeur ’n individu of groep ’n uitkoms of produk voortbring wat nuut en bruikbaar is soos gedefinieer in een of ander sosiale konteks’ (eie beklemtoning)]. Hierdie definisie sluit beide die kreatiewe proses as die kreatiewe produk in.

Uit hierdie literatuur is die volgende kriteria in ’n raamwerk vervat om wiskundige kreatiwiteit te identifiseer:

• Vlotheid [fluency] wat verwys na die generering van verskeie oplossings.
• Soepelheid [flexibility] wat handel oor veranderinge of verskuiwings in die klem, rigting of benadering van kreatiewe probleemoplossers.
• Nuutheid [novelty] wat verwys na die vlak van oorspronklikheid in die ontwikkeling van nuwe en unieke oplossings.
• Bruikbaarheid [usefulness] wat op toepaslikheid, aanpasbaarheid en herbruikbaarheid van oplossings in ander lewenswerklike situasies gegrond word.

Die eerste drie – vlotheid, soepelheid en nuutheid – wat hul oorsprong in die werk van Torrance (1974) het, is ook gebruik deur Gil, Ben-Zvi en Apel (2008); Leikin en Lev (2007) en Silver (1997). Die laaste kriterium – bruikbaarheid – is ’n belangrike komponent wat met wiskundige modellering verband hou en is afkomstig van die definisie van kreatiwiteit deur Sternberg en Lubart (2000) geformuleer.

In die volgende afdeling word wiskundige modellering in oënskou geneem, en die verband tussen modellering en kreatiwiteit bespreek.

In hierdie vorm van modellering word wiskunde toegepas op realistiese oop probleme sodat kragtige wiskundemodelle geskep kan word wat dan weer uitgebrei, aangepas en in veralgemeende vorm in ander kontekste gebruik kan word (Lesh & Doerr 2003; Maass & Gurlitt 2009). Wiskundige modellering is dus ’n belangrike manier om sin te maak van probleemsituasies in ’n verskeidenheid lewenswerklike kontekste. Gedurende die modelleringsproses word die konteks algaande weggesny en word die vraagstuk omvorm tot ’n wiskundeprobleem. Die wiskundeprobleem word dan opgelos en geïnterpreteer in die lewenswerklike konteks waarin dit gestel is. Deur modellering word wiskunde wat die moeite werd is, geleer en leerders se vermoëns geslyp om hul wiskundekennis toe te pas (Niss, Blum & Galbraith 2007). Gedurende die oplossing van ’n komplekse, lewenswerklike probleem beweeg leerders herhaaldelik deur die modelleringsproses – dikwels deur heen en weer te spring tussen die stappe (Ärlebäck & Bergsten 2010). Elkeen van die stappe word gekenmerk deur veelvuldige siklusse van interpretasies, voorstellings, verduidelikings, stellings en regverdiging wat herhaaldelik verfyn word deur interaksie met ander leerders (Doerr & English 2001).

Die prosesse van probleemoplossing en modellering in wiskunde is nou verwant. In kontras met ’n eng siening van probleemoplossing waar ’n eensiklusproses gebruik word om by die antwoord van ’n roetineprobleem uit te kom, behels modellering veelvuldige probleemoplossingsiklusse. In die algemene doelwitte van die nuwe Suid-Afrikaanse kurrikulum (KABV/CAPS) word verwys na sewe aspekte wat in die vooruitsig gestel word vir onderrig op skool (DBO 2011), naamlik dat leerders:

… probleme sal identifiseer en oplos en besluite sal neem deur kritiese en kreatiewe denke; doeltreffend in ’n groep sal saamwerk; hulself en hul aktiwiteite verantwoordelik en doeltreffend sal organiseer en bestuur; inligting sal versamel, ontleed en organiseer en krities evalueer; doeltreffend sal kommunikeer deur middel van ’n verskeidenheid van verskillende voorstellingswyses; wetenskap en tegnologie doeltreffend en krities sal gebruik; en sal begryp dat die wêreld uit ’n stel verwante stelsels bestaan waarin probleme nie in isolasie opgelos word nie. (bl. 5)

Hierdie onderrigdoelstellings sluit baie goed by wiskundige modellering aan, aangesien al sewe dié aspekte ook samestellende elemente van ’n modelleringsperspektief is.

Modellering word beskou as ’n belangrike manier waarop leerders se wiskundige begrip ontwikkel kan word en waardeur onderwysers leerders se denke en probleemoplossingstrategieë kan leer ken. Wanneer ’n modelleringsbenadering gevolg word in die leer en onderrig van wiskunde is die fokus op die matematisering van realistiese situasies wat vir die leerder sin maak (Wessels 2006). Volgens Glas (2002) is daar verskeie voordele verbonde aan die gebruik van modelle en modellering in die klaskamer: leerders ontwikkel ’n begrip vir die gekonnekteerdheid [interconnectedness] van onderwerpe in wiskunde, maar ook tussen onderwerpe buite die wiskunde; ontwikkel die besef dat daar verskeie perspektiewe oor kennisdomeine bestaan; raak kreatief in hul wiskundige denke; en leer om wiskunde te sien as prakties en toepaslik in die wêreld waarin hulle leef.

Komplekse, lewenswerklike take, of modelontlokkende aktiwiteite (MOA’s) word in ’n wiskundige modellerings benadering gebruik. Die eienskappe van modelontlokkende aktiwteite en redes waarom dit ’n ideale voertuig vir die ontwikkeling van kreatiwiteit is, word vervolgens bespreek.

Die oplos van ’n modelontlokkende aktiwiteit, behels ’n proses van die wisselwerking tussen modelleringsbevoegdhede en die modelleringsproses waartydens ’n groep ’n produk (model) voortbring wat nuut en bruikbaar is in ’n lewenswerklike konteks (Biccard 2010; Lesh & Doerr 2003; Lesh, Cramer, Doerr, Post & Zawojewski 2003). Hierdie prosesbeskrywing toon ’n direkte ooreenkoms met die beskrywing van die kreatiwiteitsproses hierbo. Die stelling kan dus gemaak word dat kreatiwiteit deur wiskundige modellering ontwikkel kan word.

’n Modelontlokkende aktiwiteit vereis van leerders of studente om ’n model te ontwikkel wat ’n lewenswerklike situasie beskryf; om hul idees dan te hersien en te verfyn en om voorstellings te gebruik om hul idees te verduidelik en te dokumenteer (Lesh, Carmona & Post 2002). ’n Verskeidenheid van eksterne voorstellings word gebruik om idees weer te gee wanneer modelle ontwikkel word. Hierdie voorstellings kan grafieke, formules, tabelle, woorde, geskrewe teks en so meer insluit. Afleidings oor die aard van studente se wiskundige kennis en die ontwikkeling daarvan – dus ook van hul denke – kan gemaak word deur hierdie voorstellings te bestudeer. MOA’s word opgelos in groepe van drie tot vyf persone. Die oplossing vereis ’n wiskundige model wat bruikbaar moet wees vir ’n kliënt wat in die probleem geïdentifiseer word. Die studente moet dus hul denkprosesse duidelik beskryf en oortuigende redes aanvoer vir hul oplossing om dit vir die kliënt bruikbaar te maak. ’n MOA het nie net een oplossing nie, maar studente moet die optimale oplossing vir die kliënt probeer vind en moet daarom dikwels hul eerste oplossing verander, verbeter, verfyn of aanpas.

MOA’s bied studente dus geleenthede om situasies te matematiseer met behulp van vaardighede soos redenering, kommunikasie, regverdiging, hersiening, verfyning en voorspelling wanneer hulle die probleme oplos. Dié aktiwiteite help ontwikkel divergente denke, kommunikasie vaardighede, vlotheid met voorstelling, kognitiewe soepelheid, kreatiwiteit, en die vermoë om wiskundige kennis toe te pas. Dit bevorder ook onderrig en leer met die oog op begrip en kweek ’n waardering vir die gebruik van wiskunde in ’n lewenswerklike konteks (Chamberlin & Moon 2005; English 2006).

Die gebruik van oop probleme in ’n lewenswerklike konteks lei tot veelvuldige interpretasies en ’n verskeidenheid van verskillende oplossings. Mann (2006) beweer dat die oplossing van hierdie soort probleme ’n stap in die rigting van wiskundige kreatiwiteit is. Die onafhanklike oplossing van komplekse probleme deur selfuitgedinkte strategieë bevorder die ontwikkeling van intuïsie en kreatiwiteit, asook van konvergente en divergente denke (Cotic & Zuljan 2009; Manuel 2009). Die vermoë om te beplan en om probleemoplossingspaaie te evalueer en te verfyn word ook deur hierdie proses ontwikkel. Omdat MOA’s dus vlotheid, soepelheid, nuutheid en bruikbaarheid bevorder, kan hierdie modelontlokkende aktiwiteite as ’n ideale voertuig beskou word om kreatiwiteit te ontwikkel.

In die verlede kon leerders met buitengewone vermoëns en kreatiwiteit hulle nie maklik identifiseer met die eng en oppervlakkige take uit tradisionele handboeke en toetse nie. Met die gebruik van MOA’s kan ’n wyer reeks vermoëns en begrippe in wiskunde, waarvan die bruikbaarheid verder strek as net die wiskundeklas, egter ontwikkel en geassesseer word (Lesh 2001; Lesh & Lehrer 2003).

Groepe moes al hul berekeninge vir die taak, hul finale modelle en ’n gedetailleerde beskrywing van die proses wat hulle gevolg het, inhandig. Elke groep het die geleentheid gekry om hul oplossingstrategieë en modelleringproses in ’n aanbieding voor drie of vier ander groepe studente te verduidelik, waarna die verskillende oplossingstrategieë bespreek is. In die laaste fase van die onderrigeenheid oor modellering moes elke groep studente twee MOA’s vir kleiner kinders (ouderdomme ses tot nege) skep. Verslag oor hierdie laaste kreatiewe fase van die onderrigeenheid word in ’n ander artikel gelewer en sal dus nie hier bespreek word nie.

• Modelontlokkende aktiwiteit 1 (Addendum A): ‘Moenie drink en bestuur nie’ (Lesh, Hoover & Kelly 1992:126). Data oor bloedalkoholvlakke, die getal drankies genuttig, liggaamsgewig en tydverloop is in tabelvorm aan voornemende onderwysers gegee. Hulle moes ’n instrument ontwikkel wat deur die Inbelsentrum gebruik kan word om ’n inbeller se bloedalkoholkonsentrasie te skat en sodoende te bepaal of hy binne die wettige perk is of nie. Studente kon baie goed met hierdie taak identifiseer, aangesien hulle in hul sosiale lewe op universiteit dikwels gekonfronteer word deur moeilike keuses ten opsigte van drankgebruik.

• Modelontlokkende aktiwiteit 2 (Addendum B): ‘Geldmaak’ (Lesh, Amit & Schorr 1997:67). ’n Entrepreneur het nege verkopers in diens geneem om gedurende die somer springmielies en koeldrank by ’n speelpark te verkoop. Voornemende onderwysers is gevra om aanbevelings te maak om haar te help met haar besluit oor watter ses verkopers sy weer vir die volgende somer in diens moet neem. Die besluit moet gegrond wees op hul verkope en die getal ure wat hulle gewerk het tydens stadige, bestendige en besige skofte. Baie studente betaal vir hul studies of verdien sakgeld deur in hul vrye tyd deeltydse werk te verrig. Die werk behels dan ook dikwels skofte met uurlikse betaling – hulle kon dus maklik identifiseer met die konteks van hierdie aktiwiteit.

• Modelontlokkende aktiwiteit 3 (Addendum C): ‘Olimpiese Rekords’ (Lesh, Hoover & Kelly 1992:127). Wentye van mans en vroue in vorige 200 m-wedlope by die Olimpiese Spele moet gebruik word om wentye vir die volgende 50 Olimpiese Speles te voorspel. In die lig van die Olimpiese Spele in 2012, het ’n modelleringstaak wat oor wentye van ’n wedloop by die Olimpiese Spele handel, by die studente byval gevind en kon hulle hulle maklik met die konteks van dié aktiwiteit vereenselwig.

FIGURE 1: Ongewone staafgrafiek geproduseer deur Groep 1.

FIGURE 2: Drie van die grafieke wat Groep 1 se finale grafiek (model) vooraf gegaan het.

Die voorgestelde raamwerk kon dus effektief gebruik word om vlakke van kreatiwiteit in die oplossings van hierdie MOA’s te bepaal.

Bevindinge in ’n studie deur Seo, Lee and Kim (2005) oor onderwysers se begrip van kreatiwiteit wys op die feit dat onderwysers ’n goed afgeronde begrip van kreatiwiteit – insluitend die kognitiewe, persoonlikheids- en omgewingskomponente van kreatiwiteit – nodig het om studente se kreatiwiteit volledig te kan ontwikkel.

Onderwysers behoort aanvullend tot ’n deeglike begrip van kreatiwiteit ook toegerus te wees met kennis en vaardighede om kreatiwiteit deur wiskundige modellering te ontwikkel. Hulle moet kennis dra van die sleutelbeginsels en -konsepte van wiskundige modellering en moet ’n positiewe gesindheid teenoor wiskundige modellering hê (Doerr & Lesh 2011; Wessels 2009). Hulle moet gepaste oortuigings oor die aard van wiskunde en wiskundeonderwys hê en bewus wees van hul eie kennis en bevoegdheid om ’n modelleringsbenadering suksesvol in skole te kan implementeer (Maass & Gurlitt 2009).

Studenteonderwysers moet dus reeds voordat hulle die praktyk betree, blootgestel word aan wiskundige modellering.

Die tradisionele benadering in klaskamers is nie bevorderlik vir die ontwikkeling van kreatiwiteit nie, aangesien kennis deur die onderwyser aan die leerders ‘oorgedra’ word en leerders reëls en prosedures wat die onderwyser gedemonstreer het, presies so moet weergee (Cobb, Wood, Yackel & McNeal 1992). Die vind van die korrekte antwoord – meestal een korrekte antwoord – lei tot ’n verskraling van leerders se eie kreatiwiteit en laat geen ruimte vir eie inisiatief, denke en strategieë nie. Die wyse waarop kinders in ’n tradisionele skoolstelsel opgevoed word, stel dus hulle kreatiwiteit en verbeelding op sistematiese wyse in gevaar: ‘Education is meant to take us into a future we can’t grasp ... yet we are educating our children out of creativity.’ [Opvoeding is bedoel om ons te neem tot in ‘n toekoms wat ons nog nie kan verstaan nie, tog lei ons ons kinders op en uit hulle kreatiwiteit uit.] (Robinson 2008, [outeur se eie vertaling)]. Fox (2006:223) wys daarop dat leerders meer aanpasbare, kreatiewe en toekomsgerigte wiskundige denkers en probleemoplossers moet wees om te kan funksioneer in ’n samelewing wat toenemend op tegnologie en inligting gebaseer is. Voornemende onderwysers behoort dus aan effektiewe metodes vir die ontwikkeling van kreatiwiteit blootgestel te word, soos die gebruik van kragtige probleemoplossingsaktiwiteite waardeur wiskundige kennis, wiskundige vaardighede en kreatiwiteit ontwikkel word. Goeie modelontlokkende aktiwiteite ingevolge ’n modelleringsbenadering verteenwoordig aktiwiteite wat die potensiaal het om sowel wiskundige kennis as kreatiwiteit te ontwikkel. Onderwysstudente behoort deeglik voorberei te word om leerders se kreatiwiteit te ontwikkel deur die gebruik van MOA’s – dit impliseer egter dat hul eie kreatiwiteit ook eers ontwikkel moet word sodat hulle hul eie wiskundekennis kan verbreed en terselfdertyd ’n beter begrip kan vorm van hoe die proses van die ontwikkeling van wiskundige kreatiwiteit by leerders verloop.

Piaget verduidelik dat reflekterende abstraksie ’n gevorderde denkproses is waardeur denke van een vlak na ’n volgende, hoër vlak beweeg (Piaget 1985). Onderrig aan onderwysstudente behoort reflekterende abstraksie by hulle te bevorder, maar hulle moet terselfdertyd bewus gemaak word van hoe hierdie proses verloop sodat hulle weer op húl beurt reflektiewe abstraksie en dus denke van hoër orde by leerders kan ontwikkel. Dit is dus van kardinale belang dat onderwysstudente self MOA’s moet oplos en hul oplossingstrategieë in groepaanbiedings moet verduidelik en verdedig. Deur die blootstelling aan die prosesse, produkte (finale modelle), verduidelikings en beredenering van ander groepe, ontwikkel en konsolideer hulle hul eie wiskundige kennis.

’n Eerste vlak van refleksie word verder geskep wanneer groepe deur middel van aanbiedings hul oplossings (modelle) verduidelik en verdedig, ook wanneer ’n oorsigtelike klasbespreking van oplossings en oplossingsprosesse daarna gehou word. Die ontleding van hul eie modelle na aanleiding van die kriteria vir kreatiwiteit daarna en refleksie oor die verloop van hul oplossingsprosesse verteenwoordig Piaget se projeksiefase [projection phase] in die proses van reflektiewe abstraksie waar aksies op een vlak die objekte van refleksie op die volgende vlak word (Piaget 1985).

Die tweede fase, bewustelike herorganisering [conscious reorganisation], volg daarna wanneer die studenteonderwysers na aanleiding van hul eie ervarings van wiskundige modellering en kreatiwiteit in hul modelle reflekteer oor hoe hierdie prosesse in die wiskundeklaskamer kan verloop en hoe om sin te maak van kinders se denke. Onderrigbevoegdhede [teaching competencies] van voornemende onderwysers word dus ontwikkel: ‘Expertise in teaching involves the development of powerful conceptual tools for making sense of students’ work’ [Bedrewenheid in onderrig behels die ontwikkeling van kragtige konseptuele gereedskap om sin te maak van leerders se werk.] (Lesh & Lehrer 2003:11, [outeur se eie vertaling]).

Deur self deur die proses van wiskundige modellering te gaan en kreatiwiteit in hul modelle te bestudeer kry studenteonderwysers dus ’n beter insig in die rol wat modellering kan speel in die opbou en konsolidering van wiskundekennis en in die ontwikkeling van kreatiwiteit.

Die keuse van modelleringsprobleme is kernbelangrik in die ontwikkeling van kreatiwiteit. Chamberlin en Moon (2005) beklemtoon dat MOA’s spesifiek gefokus is op die ontwikkeling van kreatiwiteit en bespreek vyf kurrikulêre eienskappe van dié soort aktiwiteite. Goedbeplande MOA’s is eerstens interdissiplinêr – die primêr wiskundige inhoud kan in ’n verskeidenheid niewiskundige kontekste ingeklee word. MOA’s is tweedens ook goed gestruktureerd – voldoende inligting word gegee sodat die taak opgelos kan word. MOA’s is derdens realistiese probleme waarmee leerders kan identifiseer en wat vir hulle sin maak in hul eie lewens. Die oplossing van ’n MOA moet vierdens deur metakognitiewe afrigting [metacognitive coaching] van die onderwyser gestuur word. Die vrae wat die onderwyser vra, speel hier ’n belangrike rol om leerders te laat reflekteer oor hul strategieë en om veelvuldige strategieë – en dus kreatiwiteit – aan te moedig. Vyfdens stel MOA’s onderwysers in staat om leerders se denke te bestudeer, aangesien van leerders vereis word om in hul oplossings ook hul denkprosesse te dokumenteer en redes vir besluite oor keuses van probleemoplossingspaaie te gee. Chamberlin en Moon stel dit dat interdissiplinariteit, metakognitiewe afrigting, en probleemoplossing die drie eienskappe van MOA’s is wat sterk op kreatiwiteit fokus.

Groepaanbiedings aan die hele klas en besprekings van oplossingstrategieë en -prosesse is waardevol in die bevordering van reflektiewe denke en metakognitiewe strategieë. Hierdie klasaanbiedings en besprekings is egter vanweë ’n groot toename in studentegetalle die afgelope paar jaar nie meer moontlik nie. ’n Nuwe model van eweknie- en fasiliteerderassessering deur middel van plakkaataanbiedings word tans uitgetoets en lewer tot dusver belowende resultate.

Die voorgestelde raamwerk vir ontleding van voornemende onderwysers se modelle met betrekking tot die vier kriteria vir kreatiwiteit is uitgewys as ’n nuttige hulpmiddel om kreatiwiteit in oplossings te evalueer. Die voorstellings in die verskillende modelleringsiklusse het die vier kriteria vir kreatiwiteit nie konsekwent vertoon nie. Ontleding van vlakke van beredenering in die finale modelle het egter meer konsekwentheid in die vier kriteria getoon.

Ärlebäck, J. & Bergsten, C., 2010, ‘On the use of realistic Fermi problems in introducing mathematical modelling in upper secondary mathematics’, in R. Lesh, P. Galbraith, C. Haines & A. Hurford (eds.), Modeling students’ mathematical modeling competencies. ICTMA 13, pp. 597–609, Springer, New York.

Biccard, P., 2010, ‘An investigation into the development of mathematical modelling competencies of Grade 7 learners’, unpublished MA dissertation, Stellenbosch University, Stellenbosch.

Britten, S., 2012, ‘Can creativity fix South Africa?’, Mail & Guardian Online, 26 March.

CCSSI, 2010, Common Core State Standards for Mathematics, viewed 27 March 2012, from http://www.corestandards.org/the-standards.

Chamberlin, S. & Moon, S., 2005, ‘Model-eliciting activities as a tool to develop and identify creatively gifted mathematicians’, Journal of Secondary Gifted Education 17(1), 37–47.

Cline, S., 1999, Giftedness has many faces: Multiple talents and abilities in the classroom. Foundation for Concept in Education, Winslow Press, Delray Beach.

Cobb, P., Wood, E., Yackel, E. & McNeal, B., 1992, ‘Characteristics of classroom mathematics traditions: an interactional analysis’, American Education research Journal 29(3), 573–604.

Cotic, M. & Zuljan, M., 2009, ‘Problem-based instruction in mathematics and its impact on the cognitive results of the students and on affective- motivational aspects’, Educational Studies 35(3), 297–310. http://dx.doi.org/10.1080/ 03055690802648085

Departement Basiese Onderwys (DBO), 2011, Kurrikulum- en Assesserings-beleidsverklaring (KABV/CAPS), Graad 1–3 Wiskunde, Department van Basiese Onderwys, Kaapstad.

Doerr, H., 2007, ‘What knowledge do teachers need for teaching mathematics through applications and modelling?’, in W. Blum, P. Galbraith, H. Henn & M. Niss (eds.), Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI Study, pp. 69–78, Springer, New York. http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-29822-1_5

Doerr, H., & English, L., 2001, ‘A modelling perspective on students’ learning through data analysis’, in M. Van den Heuvel-Panhuizen (ed.), Proceedings of the 25th Annual Conference of the International Group for the Psychology of Matheamtics Education, p. 361, Freudenthal Institute, Utrecht.

Doerr, H., & Lesh, R., 2011, ‘Models and modelling perspectives on teaching and learning mathematics in the twenty-first century’, in G. Kaiser, W. Blum, R. Borromeo Ferri & G. Stillman (eds.), Trends in teaching and learning of mathematical modelling – ICTMA 14, pp. 247–268, Springer, Dordrecht. http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-0910-2_26

Dossey, J., McCrone, S., Giordano, F., & Weir, M., 2002, Mathematics methods and modeling for today’s mathematics classroom: A contemporary approach to teaching Grades 7-12, Brooks/Cole, New York.

English, L., 2006, ‘Mathematical modeling in the primary school: Children’s construction of a consumer guide’, Educational Studies in Mathematics 63, 303–323. http://dx.doi.org/10.1007/s10649-005-9013-1

English, L., 2003, ‘Mathematical modelling with young learners’, in S. Lamon, W. Parker & S. Houston (eds.), Mathematical modelling: A way of life, pp. 3–18, Horwood Publishing, Chichester.

English, L. & Watters, J., 2009, ‘Mathematical modelling in the early school years’, in B. Sriraman, V. Freiman & N. Lirette-Pitre (eds.), Interdisciplinarity, Creativity and Learning, pp. 233–247, Information Age Publishing, Charlotte.

Ervynck, G., 1991, ‘Mathematical creativity’, in D. Tall (ed.), Advanced mathematical thinking, pp. 42–53, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

Fetterly, J., 2010, ‘An exploratory study of the use of a problem-posing approach on pre-service elementary education teachers’ mathematical creativity, beliefs, and anxiety’, Unpublished doctoral thesis, Florida State University.

Fox, J., 2006, ‘A justification for mathematical modelling experiences in the preparatory classroom’, in P. Grootenboer, R. Zevenbergen & M. Chinnappan (ed.), Proceedings 29th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, pp. 221–228, MERGA, Canberra.

Freiman, V., 2006, ‘Problems to discover and boost mathematical talent in the early grades: A challenging situations approach’, The Montana Mathematics Enthusiast 3(1), 51–75.

Gil, E., Ben-Zvi, D. & Apel, N., 2008, ‘Creativity in learning to reason informally about statistical inference in primary school’, in R. Leikin (ed.), Proceedings of the 5th International Conference on Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Stuents, Haifa, Israel, February 24–28, pp. 125–135.

Glas, E., 2002, ‘Klein’s model of mathematical creativity’, Science and Education 11, 95–104. http://dx.doi.org/10.1023/A:1013075819948

Government, New South Wales, 2006, Mathematics K-6, Board of Studies New South Wales, Sydney.

Haylock, D., 1997, ‘Recognizing mathematical creativity in school children’, International Reviews on Mathematical Education 29(3), 68–74.

Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Murray, H., et al., 1997, Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Heinemann, Portsmouth.

Leikin, R. & Lev, M., 2007, ‘Multiple solution tasks as a magnifying glass for observation of mathematical creativity’, in J.-H. Woo, H.-C. Lew, K.-S. Park & D.-Y. Seo (eds.), Proceedings of the 31st International Conference for the Psychology of Mathematics Education 3, 161–168.

Lesh, R., 2001, ‘Beyond constructivism: A new paradigm for identifying mathematical abilities that are most needed for success beyond shcool and in a technology-based age of info’, in M. Mithelmore (ed.), Mathematics Education Research Journal, Special issue.

Lesh, R. & Doerr, H., 2003, ‘Foundations of a model and modeling perspective on mathematics teaching, learning and problem solving’, in R. Lesh & H. Doerr (eds.), Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics, problem solving, learning and teaching, pp. 337–358, Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, NJ.

Lesh, R. & Lehrer, R., 2003, ‘Models and modeling perspectives on the development of students and teachers’, Mathematical Thinking and Learning 5(2&3), 109–129.

Lesh, R., Carmona, G. & Post, T., 2002, ‘Models and modeling: Representational fluency’, In D. Mewborn, P. Sztajn, D. White, H. Wiegel, L. Bryant & K. Nooney (eds.), 24th Annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, proceedings, Athens, Georgia, October 26–29, 2002, pp. 89–98.

Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H., Post, T. & Zawojewski, J., 2003, ‘Model development sequences’, in R. Lesh & H. Doerr (eds.), Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning and teaching, pp. 35–58, Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, NJ.

Lesh, R., Hoover, M. & Kelly, E., 1993, ‘Equity, assessment, and thinking mathematically: Principles for the design of model-eliciting activities’, in I. Wirszup & R. Streit (eds.), Developments in school mathematics education around the world, vol. 3, pp. 104–130, Teachers of Mathematics.

Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A. & Post, T., 2000, ‘Principles for developing thought-revealing activities for students and teachers’, in R. Lesh & A. Kelly, Handbook of research design in mathematics and science education, pp. 591–645, Lawrence Erlbaum, Mahwah, NY.

Lesh, R. Amit, M. & Schorr, Y., 1997, ‘Using ”real-life” problems to prompt students to construct conceptual models for statistical reasoning’, in I. Gal & J. Garfield (eds.), The assessment challenge in statistics education, pp. 65–83, IOS Press, Amsterdam.

Maass, K., & Gurlitt, J., 2009, ‘Designing a teacher questionnaire to evaluate professional development in modelling, paper presented at the 6th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 6), Lyon, France, January 28 – February 01,2009.

Mann, E., 2006, ‘Creativity: The essence of mathematics’, Journal for the Education of the Gifted 30 (2), 236–260.

Manuel, D., 2009, ‘Does technology help building more creative mathematical environments?’, in B. Sriraman, V. Freiman & N. Lirette-Pitre (eds.), Interdisciplinarity, creativity and learning, pp. 233–247, Information Age Publishing, Charlotte, NC.

Marshak, D., 2003, ‘No child left behind: A foolish race into the past’, Phi Delta Kappan 85, 229–231.

Mousoulides, N., 2009, ‘Mathematical modeling for elementary and secondary school teachers, Research and theories in teacher education, A. Kontakos (ed.), University of the Aegean, Greece.

Mousoulides, N., Sriraman, B. & Christou, C., 2007, ‘From problem solving to modeling. The emergence of models and modeling perspectives’, Nordic Studies in Mathematics Education 12(1), x–y.

Niss, M., Blum, W. & Galbraith, P., 2007, ‘Introduction to modelling and applications in mathematics education’, in W. Blum, P. Galbraith, H.-W. Henn& M. Niss (eds.), Modeling and applications in mathematics education. 14th ICMI Study, pp. 3–32, Springer, New York. http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-29822-1_1

Piaget, J., 1985, The equilibration of cognitive structures: The central problem of intellectual development, University of Chicago Press, Chicago.

Piirto, J., 1998, Understanding those who create, Great Potential Press, Scottsdale, AZ.

Plucker, J. & Beghetto, R., 2004, ‘Why creativity is domain general, why it looks domain specific, and why the distinction does not matter’, in R. Sternberg, E. Grigorenko & J. Singer (eds.), Creativity: From potential to realization, pp. 153–168, American Psychological Association, Washington, DC. http://dx.doi.org/10.1037/10692-009

Robinson, K., 1999, Creativity, Culture and Education. Report, National Advisory Committee on Creative and Cultural Education, London.

Robinson, K., 2008, Keynote address, Apple Education Leadership Summit, viewed 28 May 2012, from http://flighered.com/2011/07/05/does-education-kill-creativity/

Seo, H.-A., Lee, E. & Kim, K., 2005, ‘Korean science teachers’ understanding of creativity in Gifted Education’, Journal of Secondary Gifted Education XVI (2/3), 98–105.

Sheffield, J., 2000, ‘Creating and developing promising young mathematicians’, Teaching Children Mathematics 6(7), 416–419.

Silver, E., 1997, ‘Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing’, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 29(3), 75–80. http://dx.doi.org/10.1007/s11858-997-0003-x

Sriraman, B., 2005, ‘Are giftedness and creativity synonyms in mathematics?’, Journal of Secondary Gifted Education 17(1), 20–36.

Sriraman, B., 2004, ‘The characteristics of mathematical creativity’, The Mathematics Educator 14(1), 19–34.

Sternberg, R., 1999, ‘Developing mathematical reasoning’, in L. Stiff & F. Curcio (eds.), The nature of mathematical reasoning, pp. 37–44, NCTM, Reston, VA.

Sternberg, R. & Lubart, T., 2000, ‘The concept of creativity: Prospects and paradigms’, in R. Sternberg (ed.), Handbook of creativity, pp. 93–115, Cambridge University Press, New York.

Sung, Y.-T., Chang, K.-E., Chiou, S.-K. & Hou, H.-T., 2005, ‘The design and application of a web-based self- and peer-assessment system’, Computers and Education 45(2), 187–202. http://dx.doi.org/10.1016/j.compedu.2004.07.002

Torrance, E., 1974, Torrance tests of creative thinking, Ginn, Lexington.

Urban, K., 1995, ‘Creativity: a component approach model’, paper presented at the World Conference on the Education for the Gifted and Talented, July 31, Hong Kong.

Wessels, D.C.J., 2009, ‘Die moontlikhede van die modelleringsperspektief vir skoolwiskunde’, Die Suid-Afrikaanse Tydskrif vir Natuurwetenskap en Tegnologie 28(4), 319–339.

Wessels, H., 2011a, ‘The Development of Creativity through Rich Open-Ended Mathematical Tasks’, paper presented at the 16th Korean International Seminar of Mathematics Education on Creativity Development and Gifted Students, Daejeon, Korea, August 11–13.

Wessels, H., 2011b, ‘Using a modelling task to elicit reasoning about data’, in A. Rogerson & L. Paditz (eds.), The Mathematics Education into the 21st Century Project. Turning Dreams into Reality: Transformations and Paradigm Shifts in Mathematics Education. Proceedings of the 11th International Conference, Rhodes University, Grahamstown, viewed n.d., from http://directorymathsed.net/download/

Wessels, H., 2006, ‘Types and levels of data arrangement and representation as modeled by Grade 4-7 learners’, unpublished doctoral dissertation, University of South Africa, South Africa, viewed n.d., from http://hdl.handle.net/10500/1867

Wu, P. & Chiou, W., 2008, ‘Postformal thinking and creativity among late adolescents: A post-piagetian approach’, Adolescence 43(170), 237–251.

Every year, thousands of people are killed in car accidents. Hundreds of thousands more are injured. As many as 50% of car accidents are caused by drunk drivers. The Arrive Alive campaign aims to crack down on drunk driving. Across the country, drunk driving is a very serious crime. There are laws governing how much a person may drink and still be considered safe to drive. Anyone who has a blood alcohol level of 0.05% or higher will be considered drunk and not fit to drive. Persons caught driving drunk can lose their licenses, receive a fine and a possible jail sentence. It is important for those individuals who choose to drink to understand what their blood alcohol level is. The higher the level, the more impaired a person’s abilities are. A can of beer, a glass of wine or one shot of hard liquor all contain the same amount of alcohol. Each of these should be counted as one drink. How much an alcoholic drink affects someone depends on the person’s weight. So, the effect of a glass of wine is much more pronounced in a slight person than in someone heavy. Once a person stops drinking, the blood alcohol drops about 1.5% per hour. For example: a 64 kg person with a blood alcohol level of 0.10 % would have a blood alcohol level of 0.085% after one hour and 0.070% after another hour. While a person can legally drive at blood alcohol levels of 0.04%, experts warn that impairment is still possible. To be safe, the best policy is never to drink and drive. If one does drink, however, one should at least have a ‘designated driver’. This is a person who accompanies other people, but chooses to abstain. At the end of the evening, the designated driver takes everyone home safely. Other ways for drinkers to be safe is to call a taxi or stay overnight at the place where they are drinking. These alternatives seem inconvenient, but being involved in an accident or going to jail is even worse!

FIGURE 1: Don’t Drink and Drive hotline!

Last year Maya had nine vendors. This summer, she is only able to employ six – three full-time and three half-time. She wants to rehire only the most successful vendors, but she doesn’t know how to compare them because of unequal shift lengths. Also, when they worked, makes a big difference. After all, sales would peak on a crowded Friday night and dip on a rainy afternoon. Maya reviewed her records from last year. For each individual vendor, she totalled the number of working hours and the money collected – when business in the park was good (high attendance), steady, and slow (low attendance) (see Table 1 and Table 2). Please evaluate how well the various vendors did for the business last year and choose three she should rehire full-time, and three half-time.

Write a letter to Maya giving your results. In your letter describe how you evaluated the vendors. Give details so Maya can check your work; do give a clear explanation so she can decide whether your method is efficient.

1948

1. Fanny Blankers-Koen (Hol) 24.4

1952

1. Marjorie Jackson (Aus) 23.7

1956

1. Betty Cuthbert (Aus) 23.4 WR

1960

1. Wilma Rudolph (US) 24.0

1964

1. Edith McGuire (US) 23.0 WR

1968

1. Irena Szwewinska (Pol) 22.5 (A) WR

1972

1. Renate Stecher (EG) 22.40 WR

1976

1. Bärbel Wöckel* (EG) 22.37

1980

1.Bärbel Wöckel (EG) 22.03

1984

1. Valerie Brisco* (US) 21.81

1988

1. Florence Griffith Joyner (US) 21.34 WR

1992

1. Gwen Torrence (US) 21.81

1996

1. Marie-José Pérec (Fra) 22.12

2000

1. Marion Jones (US) 21.84

2004

1. Veronica Campbell (JAM) 22.05

2008

1. Veronica Campbell –Brown (JAM) 21.74

MEN: 200 meter

1896 (not contested)

1900

1. Walter Tewksbury (US) 22.2

1904

1. Archie Hahn (US) 21.6

1908

1. Bob Kerr (Can) 22.6

1912

1. Ralph Craig (US) 21.7

1920

1. Allen Woodring (US) 22.0

1924

1. Jackson Scholz (US) 21.6

1928

1. Percy Williams (Can) 21.8

1932

1. Eddie Tolan (US) 21.2

1936

1. Jesse Owens (US) 20.7

1948

1. Mel Patton (US) 21.1

1952

1. Andy Stanfield (US) 20.7

1956

1. Bobby Morrow (US) 20.6 WR

1960

1. Livio Berruti (ITA) 20.5

1964

1. Henry Carr (US) 20.3

1968

1. Tommie Smith (US) 19.8 (A) WR

1972

1. Valeriy Borzov (SU) 20.00

1976

1. Don Quarrie (Jam) 20.22

1980

1. Pietro Mennea (Ita) 20.19

1984

1. Carl Lewis (US) 19.80

1988

1. Joe DeLoach (US) 19.75

1992

1. Michael Marsh (US) 20.01

1996

1. Michael Johnson (US) 19.32 WR

2000

1. Konstadínos Kedéris (Gre) 20.09

2004

1. Shawn Crawford (US) 19.79

2008

1. Usain Bolt (JAM) 19.30