Referaatopsomming

Die sterk Parrott-lemma

M. van Straaten, S. ter Horst

Copyright: © 2016. The Author(s). Licensee: AOSIS.
This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract

The strong Parrott’s lemma. A study was done using matrix analysis to find the necessary and sufficient conditions for a given partial matrix to be completed to a contraction and the form of the unspecified entry in the partial matrix. An extention to this (Parrott’s lemma) is also obtained which gives an extra condition.

Die fokus van hierdie studie is om die voorwaardes te kry vir wanneer ’n gegewe parsiële matriks uitgebrei kan word tot ’n kontraksie. Die hoofdoel is om by Parrott se lemma uit te kom en dit daarna uit te brei tot ’n sterker weergawe wat ’n ekstra voorwaarde bevat. ’n p × q-matriks A is ’n kontraksie as die norm (lengte) gereduseer word indien A beskou word as ’n lineêre transformasie; dit is as vir enige vektor is. Die uitbreiding van ’n matriks tot ’n kontraksie behels die spesifisering van waardes in ’n matriks waarin party inskrywings nie gespesifiseer word nie.

Daar word gekyk na matrikse wat in vier blokke verdeel kan word met die matriks D in die posisie regs onder wat nie gespesifiseer word nie. Watter eienskappe sulke matrikse moet toon sodat dit tot ’n kontraksie uitgebrei kan word, word bekyk. Die vorm wat D moet hê sodat die matriks ’n kontraksie kan wees, word ook bestudeer.

Die resultaat wat verkry word, word die lemma van Parrott genoem. Dit beskryf die nodige en voldoende eienskappe wat die matriks wat ons wil uitbrei, moet toon, asook hoe die matrikse D, wat ons wil spesifiseer, moet lyk. Daarna word die oplossing uitgebrei tot wat die sterk Parrott-probleem genoem word. In hierdie geval kry ons ’n ekstra voorwaarde waaraan die matriks moet voldoen wat groter fokus aan die probleem verleen. ’n Spesifieke matriks D word verkry met behulp van Douglas se lemma.

Resultate soos Schur se komplemente, die singulierewaarde-ontbinding en ’n vierkantswortelstelling word weergegee, bewys en in die navorsing gebruik.

Die bewyse word in die komplekse Euklidiese ruimte gedoen, wat ’n eindige dimensionale vektorruimte oor die komplekse getalle is. Dit is wel goed om kennis te neem dat die meeste van die resultate wat ons verkry, ook vir Hilbert-ruimtes geld.